行列式的计算方法与例题解析
行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅用于判断矩阵是否可逆，还广泛应用于解线性方程组、求面积或体积等实际问题。本文将通过一个具体的例题，详细讲解如何计算行列式，并总结几种常见的行列式计算技巧。
一、行列式的基本定义
行列式是一个标量值，通常用符号“det(A)”表示，其中A是一个n×n的方阵。对于2×2和3×3的矩阵，其行列式可以直接通过公式计算。例如，若A = \(\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\)，则det(A) = \(ad - bc\)；若B = \(\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\)，则det(B) = \(a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\)。
二、例题解析
设矩阵C = \(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)，求det(C)。
解题步骤：
1. 直接展开法
根据行列式的定义，我们可以选择第一行展开：
\[
\text{det}(C) = 2\cdot\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix}
- 1\cdot\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}
+ 3\cdot\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}.
\]
分别计算每个小的2×2行列式：
\[
\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 5\cdot9 - 6\cdot8 = 45 - 48 = -3,
\]
\[
\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 4\cdot9 - 6\cdot7 = 36 - 42 = -6,
\]
\[
\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 4\cdot8 - 5\cdot7 = 32 - 35 = -3.
\]
2. 代入计算
将上述结果代入原式：
\[
\text{det}(C) = 2\cdot(-3) - 1\cdot(-6) + 3\cdot(-3) = -6 + 6 - 9 = -9.
\]
因此，det(C) = -9。
三、行列式的计算技巧
1. 化简为上三角矩阵
对于较大的矩阵，可以通过初等变换（如交换两行、乘以非零常数或加减倍数）将其化为上三角形式，此时行列式的值等于对角线上元素的乘积。
2. 利用性质简化计算
如果某一行或某一列全为零，则行列式为零；如果某一行或某一列是另一行或列的倍数，则行列式也为零。
3. 递归展开
对于高阶行列式，可以多次使用展开法则，逐步降低阶数，直到变成易于计算的形式。
四、总结
行列式的计算需要结合具体题目灵活运用各种方法。通过本文的例题解析可以看出，掌握基本公式和常见技巧至关重要。希望读者在练习中不断积累经验，提高解题效率！