分式不等式的解法是数学中一个重要的知识点，尤其在代数和函数的学习过程中经常涉及。分式不等式通常表现为一个分式形式的表达式大于零或小于零的形式，例如 \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) 或 \(\frac{f(x)}{g(x)} < 0\)。这类问题的求解需要掌握一定的方法和技巧。
解决分式不等式的基本步骤如下：
第一步：确定定义域
首先，要明确分式不等式中的分母不能为零。因此，需要找出使分母 \(g(x) = 0\) 的值，并将这些值排除出定义域。例如，如果 \(g(x) = x - 2\)，那么 \(x \neq 2\) 就是该不等式的定义域。
第二步：化简分式
如果可能的话，尽量对分式进行化简。这一步骤可以帮助我们更清晰地看到分子和分母之间的关系。例如，将分式约去公因式后，可能会更容易判断符号的变化。
第三步：确定零点
找到分子 \(f(x)\) 和分母 \(g(x)\) 的零点。这些零点会将实数轴分成若干个区间，在每个区间内，分式的符号不会发生变化。因此，这些零点是分析分式符号变化的关键点。
第四步：测试区间符号
在每个区间内选择一个代表点，测试分式的符号。通过这种方法可以确定分式在不同区间内的正负情况。注意，当分式等于零时，意味着分子为零；而当分式不存在时，则是因为分母为零。
第五步：写出解集
根据上述分析，结合题目要求（如“大于零”或“小于零”），写出满足条件的解集。需要注意的是，解集中应包含所有符合条件的区间，但要避免包含分母为零的点。
示例
假设我们要解不等式 \(\frac{x+1}{x-2} > 0\)。第一步确定定义域，显然 \(x \neq 2\)。第二步无需化简。第三步找到零点 \(x = -1\) 和 \(x = 2\)。第四步测试区间符号，可选点分别为 \(-2, 0, 3\)。最后得出解集为 \((-∞, -1) ∪ (2, +∞)\)。
总之，分式不等式的解题过程需要细心和耐心，关键在于准确划分区间并合理分析符号变化。通过熟练掌握以上步骤，能够有效地解决各种复杂的分式不等式问题。