二重积分的简单例题解析
二重积分是高等数学中的一个重要内容，它在物理、工程和经济学等领域有着广泛的应用。通过二重积分，我们可以计算曲面面积、体积以及某些物理量的分布等。本文将通过一个简单的例题来帮助大家理解二重积分的基本概念和解题方法。
例题：计算区域 $D$ 上函数 $f(x, y) = x^2 + y^2$ 的二重积分，其中 $D$ 是由直线 $y = x$ 和抛物线 $y = x^2$ 所围成的闭合区域。
首先，我们需要明确积分区域 $D$ 的边界。从题目描述可知，区域 $D$ 由两条曲线 $y = x$ 和 $y = x^2$ 围成。为了确定积分的上下限，我们先求出这两条曲线的交点。令 $x^2 = x$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，积分区域 $D$ 的范围为 $0 \leq x \leq 1$，且对于每个固定的 $x$ 值，$y$ 的取范围范围为 $x^2 \leq y \leq x$。
接下来，我们将二重积分表示为累次积分的形式：
$$
\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \int_{x^2}^x (x^2 + y^2) \, dy \, dx.
$$
按照积分顺序，我们先对 $y$ 进行积分：
$$
\int_{x^2}^x (x^2 + y^2) \, dy = \int_{x^2}^x x^2 \, dy + \int_{x^2}^x y^2 \, dy.
$$
第一个积分 $\int_{x^2}^x x^2 \, dy$ 可以直接计算为：
$$
\int_{x^2}^x x^2 \, dy = x^2 \cdot [y]_{x^2}xx = x^2 \cdot (x - x^2) = x^3 - x^4.
$$
第二个积分 $\int_{x^2}^x y^2 \, dy$ 则需要利用幂函数积分公式：
$$
\int_{x^2}^x y^2 \, dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^x = \frac{x^3}{3} - \frac{(x^2)^3}{3} = \frac{x^3}{3} - \frac{x^6}{3}.
$$
将两部分相加得到：
$$
\int_{x^2}^x (x^2 + y^2) \, dy = (x^3 - x^4) + \left(\frac{x^3}{3} - \frac{x^6}{3}\right) = \frac{4x^333} - x^4 - \frac{x^6}{3}.
$$
最后，我们对 $x$ 进行积分：
$$
\int_0^1 \left(\frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3}\right) dx = \frac{4}{3} \int_0^1 x^3 \, dx - \int_0^1 x^4 \, dx - \frac{1}{3} \int_0^1 x^6 \,.
.
$$
分别计算各部分积分：
$$
\int_0^1 x^3 \, dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4}, \quad \int_0^1 x^4 \, dx = \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \frac{1}{5}, \quad \int_0^1 x^6 \, dx = \left[\frac{x^7}{}\}\right]_0^1 = \frac{1}{7}.
$$
代入结果后，最终得到：
$$
\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \frac{}{}{3} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21}.
$$
通分计算可得：
$$
\frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{11} = \frac{35}{105} - \frac{21}{105} - \frac{5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}.
$$
因此，该二重积分的结果为 $\boxed{\frac{3}{35}}$。
通过这个例子，我们可以看到，二重积分的核心在于正确确定积分区域，并将其转化为累次积分进行计算。掌握这一过程，有助于解决更复杂的实际问题。