点到直线的距离公式推导过程
在平面几何中，点到直线的距离是衡量点与直线之间最短距离的重要概念。为了推导点到直线的距离公式，我们需要从基本的几何原理和代数表达式出发。
假设已知一条直线的方程为 \(Ax + By + C = 0\)（其中 \(A, B, C\) 是常数且 \(A^2 + B^2 \neq 0\)），以及一个点 \(P(x_1, y_1)\)。我们的目标是求出点 \(P\) 到这条直线的垂直距离。
首先，我们利用向量的知识来理解这一问题。设直线上任意一点为 \(Q(x, y)\)，则向量 \(\overrightarrow{PQ} = (x - x_1, y - y_1)\)。根据点到直线的距离定义，这个距离就是向量 \(\overrightarrow{PQ}\) 在直线法向量方向上的投影长度。而直线的法向量可以表示为 \(\vec{n} = (A, B)\)。
接下来，我们计算 \(\overrightarrow{PQ}\) 和 \(\vec{n}\) 的数量积：
\[
\overrightarrow{PQ} \cdot \vec{n} = A(x - x_1) + B(y - y_1)
\]
同时，我们知道数量积还等于两向量模长的乘积再乘以夹角的余弦值。由于我们要找的是垂直距离，因此夹角为 90°，余弦值为 0。这意味着点到直线的距离 \(d\) 可以直接通过模长关系表示为：
\[
d = \frac{|A(x_1 - x) + B(y_1 - y)|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
将直线方程 \(Ax + By + C = 0\) 中的 \(x, y\) 替换为任意点 \(Q(x, y)\) 满足的关系，即 \(Ax + By + C = 0\)，从而简化得到最终的公式：
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
这就是点到直线的距离公式。它简洁地表达了点到直线的垂直距离，广泛应用于解析几何、物理等领域。通过这种方法，我们可以快速计算点到直线的距离，并且直观地理解其背后的几何意义。