在数学中，导数是微积分中的一个核心概念，它描述了函数在某一点上的瞬时变化率。当我们处理两个函数的商（即分式）时，就需要用到导数的除法公式来计算其导数。这个公式被称为“商法则”或“除法法则”，它为我们提供了如何对分式求导的方法。
商法则可以表述为：如果函数 \( u(x) \) 和 \( v(x) \) 都可导，并且 \( v(x) \neq 0 \)，那么它们的商 \( f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \) 的导数可以通过以下公式计算：
\[
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
\]
这里，\( u'(x) \) 表示 \( u(x) \) 对 \( x \) 的导数，而 \( v'(x) \) 则表示 \( v(x) \) 对 \( x \) 的导数。商法则的核心思想在于结合了两个函数各自的导数信息，同时考虑了分母的平方项，以确保结果的准确性。
例如，假设我们有函数 \( f(x) = \frac{x^2}{x+1} \)，我们可以使用商法则来求其导数。首先，设 \( u(x) = x^2 \) 和 \( v(x) = x + 1 \)，则 \( u'(x) = 2x \) 和 \( v'(x) = 1 \)。代入商法则公式：
\[
f'(x) = \frac{(2x)(x+1) - (x^2)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 2x - x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}
\]
通过这一过程，我们得到了 \( f(x) \) 的导数表达式。商法则的应用不仅限于简单的多项式函数，在涉及三角函数、指数函数和对数函数的复杂分式中同样适用。熟练掌握并灵活运用商法则，可以帮助我们在解决实际问题时更加得心应手，无论是物理、工程还是经济学等领域都离不开它的支持。