初等矩阵及其逆矩阵
在高等代数中，初等矩阵是一个重要的概念。它是由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，可以分为三类：交换两行（列）、将某一行（列）乘以一个非零常数、以及将某一行（列）加上另一行（列）的倍数。初等矩阵不仅具有简单直观的形式，而且与线性方程组的求解、矩阵的秩以及矩阵的可逆性密切相关。
初等矩阵的一个重要性质是其逆矩阵的存在性和计算方法。对于第一类初等矩阵，即交换两行（或列），其逆矩阵就是本身。例如，若矩阵 $ E_{ij} $ 表示交换第 $ i $ 行和第 $ j $ 行的初等矩阵，则 $ E_{ij}^{-1} = E_{ij} $。这是因为交换两次后，矩阵恢复到原来的状态。
第二类初等矩阵是将某一行（或列）乘以一个非零常数 $ k $ 的矩阵。其逆矩阵为将该行（或列）乘以 $ \frac{1}{k} $ 的矩阵。例如，若 $ E(k) $ 表示将第 $ i $ 行乘以 $ k $ 的初等矩阵，则 $ E(k)^{-1} = E\left(\frac{1}{k}\right) $。这一性质说明，通过调整系数即可实现逆运算。
第三类初等矩阵是将某一行（或列）加上另一行（或列）的 $ k $ 倍。其逆矩阵为将该行（或列）减去同样倍数的行（或列）。例如，若 $ E(k, i, j) $ 表示将第 $ i $ 行加上第 $ j $ 行的 $ k $ 倍，则 $ E(k, i, j)^{-1} = E(-k, i, j) $。这表明，通过相反的操作可以撤销初等变换的效果。
总之，初等矩阵的逆矩阵总是存在的，并且可以通过简单的操作构造出来。这种性质使得初等矩阵成为研究矩阵理论的重要工具，同时也为解决线性方程组提供了理论支持。掌握初等矩阵及其逆矩阵的性质，有助于更深入地理解矩阵的运算规律和线性代数的核心思想。