导读 伯努利微分方程及其应用伯努利微分方程是数学分析中一类重要的非线性常微分方程，由瑞士数学家雅各布·伯努利于17世纪提出。其标准形式为：
伯努利微分方程及其应用
伯努利微分方程是数学分析中一类重要的非线性常微分方程，由瑞士数学家雅各布·伯努利于17世纪提出。其标准形式为：
\[
y' + p(x)y = q(x)y^n
\]
其中，\(y'\)表示函数\(y\)关于自变量\(x\)的导数，\(p(x)\)和\(q(x)\)是已知的连续函数，而\(n\)是一个实数常量（通常要求\(n \neq 0, 1\)）。伯努利方程因其广泛的实际意义和理论价值，在物理学、工程学以及经济学等领域有着重要的应用。
解决伯努利方程的关键在于通过变量替换将其转化为一个线性微分方程。具体做法是令\(z = y^{1-n}\)，从而将原方程化简为：
\[
z' + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)
\]
这是一类标准的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。一旦得到\(z(x)\)的表达式，再回代即可恢复出\(y(x)\)的形式。
伯努利方程的应用十分广泛。例如，在流体力学中，它可用于描述理想流体的运动状态；在电路理论里，它能帮助分析非线性电阻元件的行为；而在经济学领域，该方程还可以用来建模投资回报率随时间变化的问题。因此，掌握伯努利方程不仅有助于理解自然界中的复杂现象，还能为实际问题提供有效的解决方案。