导读 伯努利分布：概率论中的基石在概率论与统计学中，伯努利分布是一种简单却极其重要的离散型概率分布。它描述了只有两种可能结果的随机试验的
伯努利分布：概率论中的基石
在概率论与统计学中，伯努利分布是一种简单却极其重要的离散型概率分布。它描述了只有两种可能结果的随机试验的概率模型，例如抛硬币实验或质量检测中的合格与否。这种分布以瑞士数学家雅各布·伯努利的名字命名，其核心思想在于研究单一事件的成功或失败。
假设某次试验有两个互斥的结果：成功（记为1）和失败（记为0），且每次试验成功的概率为 \( p \)，失败的概率则为 \( 1-p \)。那么，该试验的随机变量 \( X \) 的概率质量函数可以表示为：
\[
P(X = x) =
\begin{cases}
p, & \text{当 } x = 1 \\
1-p, & \text{当 } x = 0
\end{cases}
\]
从公式可以看出，伯努利分布完全由参数 \( p \) 决定。例如，在掷一枚公平硬币的情况下，\( p=0.5 \)，即正面和反面出现的概率相等；而在生产线上检测产品是否合格时，若合格率为90%，则 \( p=0.9 \)。
伯努利分布不仅是理论研究的基础，还广泛应用于实际问题中。比如医学领域中判断某种药物是否有效、金融行业评估投资收益的风险等场景，都可以通过伯努利分布来建模。此外，多个独立的伯努利试验组合起来便形成了二项分布，进一步扩展了其应用范围。
总之，伯努利分布虽然看似简单，但它是理解复杂概率现象的重要起点，也是构建更高级统计模型的关键工具之一。