函数 \( \arcsin x \) 是一个非常重要的反三角函数，其定义域为 \([-1, 1]\)，值域为 \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)。它表示正弦函数的反函数，即满足 \(\sin(y) = x\) 且 \(y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) 的 \(y\) 值。在微积分中，求解 \( \arcsin x \) 的导数是一个基础但关键的问题。
要计算 \( \arcsin x \) 的导数，我们可以利用隐函数求导法。假设 \( y = \arcsin x \)，则由定义可知 \(\sin y = x\)。对等式两边关于 \(x\) 求导，根据链式法则可得：
\[
\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1
\]
因此，
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}.
\]
由于 \(y = \arcsin x\) 且 \(y \in [- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\)，我们有 \(\cos y \geq 0\)。结合三角恒等式 \(\cos^2 y + \sin^2 y = 1\)，可以得到 \(\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}\)。将此代入导数表达式，最终得到：
\[
\frac{d}{dx} (\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad x \in (-1, 1).
\]
需要注意的是，当 \(x = \pm 1\) 时，分母变为零，函数不可导。此外，在实际应用中，\( \arcsin x \) 的导数公式常用于解决与曲线切线、面积计算等相关问题。例如，通过该导数公式可以方便地推导出某些积分形式，或者帮助分析函数的增长趋势。
总之，\( \arcsin x \) 的导数是 \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)，这一结果不仅具有理论意义，还在物理学、工程学等领域有着广泛的应用价值。深入理解这一公式的推导过程有助于提升数学思维能力和解决实际问题的能力。